Может ли бабушка пойти в паспортный стол с внуком и поменять внуку паспорт или нужна мама?

В принципе она близкий родственник. Если мама не может, то вполне.
* С 1 января 2005 года документ, удостоверяющий личность обязателен для лиц, достигших возраста 15 лет. С 1 мая 2004 года лицо, достигшее возраста 15 лет, само подаёт документы на выдачу паспорта. До возраста 15 лет, документы на выдачу проездного документа ребёнка подаёт один из родителей ребёнка в его присутствии.
http://www.pmlp.gov.lv/ru/pakalpojumi/pases/ru440.html

может.