Можно сделать так, чтобы уведомления о входящих письмах высвечивалось в панели или еще где, чтобы не не заходить каждый раз на электронную почту (для тех, кто пользуется gmail.com)?

если у тебя гугл хром, то точно как-то можно, там он встроен уже
да и на Лисе тоже можно путём плагинов, уверен на 99%

Microsoft Office Outlook настрой на почту или еще какую апп для почты и КАЙФУЙ.

Конечно можно. Если на телефоне android то вообще можно что бы оповещения прилетали на телефон. И если не android то тоже можно   Еле выключил эту хрень   Зайди на Gmail в настройки и Клик --->

Можно также путём объединения всех почтовых ящиков(в одном почтовом ящике удобном для вас включить опцию сборщика писем с других почтовых ящиков).