На работе,после окончания испытательного срока в 3 месяца, должен быть заключен новый договор?

Не обязательно. Обычно в таких договорах пишется что после испытательного срока договор автоматически продлевается.

Автоматом , если не было никаких нареканий и замечаний со стороны того с кем ты заключал договор, но нужно ОБЯЗАТЕЛЬНО по просить чтобы показали приказ то что ты прошел испытательный срок и переведён на постоянную работу.

Чаше всего делают изменения в уже имеющемся договоре. На основании приказа о зачисления тебя в постоянный штат.