существует ли для телевидения что-то подобное "роутеру",чтобы не тянут кабеля в каждую комнату?

Оптику в квартиру, на сколько я знаю, только латтелеком тянет.
Другие провайдеры обычно оптику до дома тянут.

никто никому ничего не должен =)

Если в рутере и ноуте есть Wifi, то дополнительных кабелей не надо. Кусочек который до персонального идёт в комплекте с рутером. Никаких особенных. Обычный параллельный кабелёк.
Перекрёстный нужен только если два компа без всякого оборудования соединять. Ну или два рутера (али хаба или свитча), старой конструкции. В которых ещё не было автораспознавания

3 сетевых кабеля понадобится. И настроенный рутер.

в настройках подключений, проводные - вбиваешь айпишки и т.д
или наоборот, - тыкаешь получать айпи автоматически

Да, можно. Нет, "специальных" настроек не надо. В худшем случае, если не сможешь скопировать мак-адрес компа - надо будет позвонить провайдеру и прописать новый или снять привязку.
Покупаешь ви-фи рутер, настраиваешь, и подключаешь черех него ноут (ноуты) по ви-фи и при желании/необходимости пару компов по проводам.

Лично у меня провайдеры очень хорошие. Придут и всё сделают. Но вообще роутер не такая сложная штука, я бы просто знакомого позвал на твоём месте, так как у тебя думаю ждать долго нужно будит. Послать не имеют права, если что,  скажи - я отказываюсь от интернет услуг и они за бесплатно к тебе прибегут. Лично у меня сеть небольшая, скорость прятная, за 7 лат 8мбс скорость. Плюс, если сеть не перегружена, а она часто не перегружена, то доходит до +200% скорости :D. И админы всегда чуть что помогут.

Да можно, в случае, если в ПК есть Wi-Fi антена-приёмник. И пк находится в радиусе ~50 метров действия рутера.

Хаб, свитч.
Настраивать всё равно надо (если тебе провайдер дал бумашку с IP адресами).
Обычно это проще чем настроить тоже самое в Windows.

перезагрузи рутак!
Просто выдерне его из розетки, медленно досчитай до 20, воткни обратно в розетку, медленно досчитай до 40 (за это время он выполнит все процедуры, связанные с коннектом), повтори попытку подключится к своему рутаку