Если я на работе подаю заявление об уходе и мне надо будет отработать месяц, имею ли я право взять отпуск в этот месяц если много выходных накопились? Или этот месяц нельзя брать выходные?

оплатят не использованный отпуск. не забудь также сразу подать заявление.

Это будет обычный месяц, просто последний. если накопились выходные, то ты имеешь все права их проводить вне работы. С отпуском труднее... всё зависит от твоего начальства, даст или нет добро на отпуск, но скорее всего придётся обойтись только выходными, т.к отпуск обычно оговаривается заранее  

Имеете право на отпуск, если отработали хотя бы 6 месяцев без перерыва. А так вообще при увольнении Вам обязаны выплатить компенсацию за неиспользованный отпуск.  

Можно больничный взять.

Можешь, но сначала не нужно было говорить о том что собираешься увольняться, сначала нужно написать заяву на отпуск и сразу-же после того как вышел приказ(вступило ваше заявление в силу) можно писать заяву на увольнение). Если вы сказали что собираетесь увольняться могут отпуск перенести и будешь отрабатывать месяц, то есть месяц отработаешь получишь отпускные и до свидания.