Занимается ли Exigen Services back-end разработкой? Просто слышал от одного Android разработчика, что в их проектах весь back-end написан и они используют только описанные методы.

У подобных контор зачастую только одна часть "пирога" в виде проектов. Вполне может быть, что они разрабатывают только фронтенд каких-то решений, а бекенд - это задача клиента или другого вендора, с которым клиент сотрудничает ХХ лет и менять не хочет, или он завязан на этом вендоре в параллельном проекте, который юзает общий бекенд.
Опять таки, это может варьировать от проекта к проекту.

В итоге, конечно, боль, рассинхрон, невероятные суммы решений и прочие прелести подобного сетапа, но вот чё-та именно так всем нравится.

Занимается естестенно

бред какой-то, если это так, то цена такой конторе 2 копейки