Бывают ли рутеры, которые не работают во всех сетях?

ну это должен быть будь здоров какой рутер :D

сложно сказать. Как пропадает? Сигнал есть-нет.. адреса ли сбиваются, может пакетики теряются.. Там много вариантов может быть. Пригласи грамотного айтишника.
Отключи шифрование, выставь статитеский айпи, проверь рядышком с рутером. Потом если и так глючит, значит сетевая в ноутике не алё. Или физически или драйвера/программы к ней. Если так не глючит, значит подключать по очереди всё как надо, проверять, вычленять неисправность.

а почему бы его не перепрошить? :) или, как уже сказали, копайся в настройках, ищи, где там ограничения какие-нибудь есть

рутер для локалки это gateway
т.е. тебе надо либо на рутере настроить DHCP чтоб адреса выдавались автоматически и на компах поставить всё по автомату. Либо на каждом компе прописать локальный IP, mask, gateway, dns
Но в итоге должно быть примерно так:
Рутер имеет два адреса - внешний, который даётся провайдером и внутренний, к примеру 192.168.0.255
маска для внешнего, Gateway и DNS это провайдера
Каждый комп в LAN тогда должен быть из этой же подсети что и внутренний адрес рутера
т.е. у первого, к примеру, будет 192.168.0.1  mask  255.255.255.0 gateway 192.168.0.255  dns1 192.168.0.255 dns2 любой dns сервер
У второго всё точно также, только IP будет 192.168.0.2  
IP pool в настройках рутера - это диапазон IP, из которого будет выдаваться каждому компу новый IP адрес по запросу компа (когда он включается). Можно и так и так. На одном, скажем, все сетевые настройки получают с рутера, на другом всё прописано ручками.

Плюс, чтоб компы друг друга видели по My Network Places, желательно, чтоб были одинаковые протоколы на обоих установлены, если IPX/SPX/Netbios, то на обоих. И одна рабочая группа прописана. Её менять там же,  где и имя компа - в свойствах Моего Компьютера.

в настройках рутера сделай его закрытым :)
не знаю как в твоём, на моём в настройки заходить через http://192.168.0.1

Если на 100% настройки идентичны, то,возможно, пароль неправильно вводишь.
Попробуй сделать так : введи пароль в текстовый редактор ,скопируй и вставь в окно ввода пароля.

Либо в настройках рутера запрещено подключение более 1 клиента.
Либо стоит фильтрация по МАС-адресу. Или ещё какие-либо ограничения.

Нет, если конечно не какой-то специфический контракт со странным провайдером
Бывает на роутере ставится маска с диапазоном какой дали (если интернет в здании делят на всех),
а лично дома так вообще обычно нет лимита можно сказать

Обычно эта инфа пишется в логи, которые выводятся в разделе статуса или local area network dhcp list, ip address list ... Можно найти мануал в нете на сайте производителя рутера по моделе рутера, скачать на родном языке и найти это там.

vesj xoroshaja, odin minus 4to skorosjt dostupa k internetu deleca na vse kompi a po lokalke skorostj norm, u somogo doma 3 kompa podrublina k setke

просто подключит его к питанию и втыкнуть в него провода, не настроят его, как сказал НоуПремиал, в адресной строке браузера (обычно) вводим 192.168.0.1 и там уже надо смотреть логин и пароль, это можно посмотреть на дне рутера(и там будет указан адрес чтоб подключится к рутеру, если вдруг это не 192.168.0.1)