Будут ли функционировать фары космического корабля, если его разогнать до скорости света?

Это смотря какие у них функции. Если функция - освещать пространство перед ними, то, разумеется, нет (при условии, что корабль движется в противоположенную от направления света сторону). Если же функция - просто давать видимый (для движущегося вместе с кораблём наблюдателя) свет, то да - будут исполнять эту функцию.

время остановится

Если мы сможем разгонять космические корабли до скорости света, будет опровергнут тот факт, что скорость света - есть предельная скорость перемещения, а значит, мы наверняка найдём какие-то частицы, которые будут двигаться быстрее и их можно будет использовать в "фарах". Но, это всё фантастика. 90% от меня на то, что скорость света всё же предельная. И 90% от меня на то, что если всё-таки скорость света будет достигнута, то нужда в фарах отпадёт.

Ну это смотря, где фары покупали. Если на Вильнюсском базаре, то , скорей всего, не будут...

Помню как-то я и два моих знакомых решили сгонять на юпитер. День ещё был такой серый, мрачный и казалось пол Латвии собралось в интернете, чтобы обсуждать эту серость, вместо того, чтобы выйти на улицу и поиграть в биллиард удочками и пирожками. Ну так вот я, Самбатрубов и Куривыдох пошли к нашей базе, откуда мы должны были взлететь и стремительно достигнуть юпитера. Мы уже залили пахучее топливо в бак нашего космического вездехода и стали плавно так лететь в сторону этой далёкой планеты. Не успели мы оглянуться, как скорость звука стала стремительно увеличиваться до скорости света. Я зажёг фары, когда Самбатрубов чистил свои любимые космические ласты, а Куриввыдох предавался отличному пейзажу из люка нашего коробля. И вдруг откуда не возьмись появилось огромное такое зеркало! Мы все отчётливо помним этот момент, никто из нас не мог разглядеть света фар. Мы замерли, перекрестились и растворились во временном континууме . Потом мы естественно попали совсем в другое время, в другие порядки, в другую гравитацию, но это уже совсем другая история.

да

Скорость света недостижима, т.к. при приближении к скорости света у тел увеличивается масса, что приведёт к раздавливанию разгоняемого объекта.

Если двигаться рядом с этой машиной с такой же скоростью, то свечение фар можно будет увидеть.

на машине едущей со скоростью света нельзя ничего видеть. потому что "видение" это процесс регистрации глазами световых лучей, а раз глаза движутся со скоростью этих самых световых лучей, то ничего не видно.

Во вселенной нету предела скорости. Просто мы еще не открыли новые скорости. Что будет? Тут гипотез миллион, но я думаю, исходя из современных знаний теоретической физики, то начнет искажаться пространство и гравитация.