В полиции психологи работают?

да

Да. Психологи везде есть, начиная от дет. сада заканчивая военной базой  
Что делают? Работают. Например после, любого дела в которым применяли оружие, полицейского отправляют к психологу, для так сказать беседы.
Насчёт легко ли попасть на работу, честно сказать не знаю. Хотя думаю, что не очень, так как профессия довольно популярная, а раб. мест не так уж и много.

в печень и почки стучат

да, и даже в тюрьме работают. с уголовниками работают. и с потерпевшими