Где можно работать негражданам?

нет.
Atbilstība Valsts civildienesta likuma 7.panta prasībām

1.    es esmu Latvijas Republikas pilsonis;
2.    es pārvaldu latviešu valodu;
3.    man ir augstākā izglītība;
4.    es neesmu sasniedzis likumā noteikto pensijas vecumu;
5.    es neesmu sodīts par tīšiem noziedzīgiem nodarījumiem vai esmu reabilitēts vai man ir noņemta vai dzēsta sodāmība;
6.    es neesmu atbrīvots no ierēdņa amata ar tiesas spriedumu krimināllietā;
7.    es neesmu atzīts par rīcībnespējīgu likumā noteiktajā kārtībā;
8.    es neesmu un neesmu bijis PSRS, Latvijas PSR vai kādas ārvalsts valsts drošības dienesta, izlūkdienesta vai pretizlūkošanas dienesta štata darbinieks;
9.    es neesmu un neesmu bijis ar likumiem vai tiesas nolēmumiem aizliegto organizāciju dalībnieks;
10.    es neesmu iestādes vadītāja vai tiešā priekšnieka radinieks (persona, kura ar ierēdni ir laulībā, svainībā vai radniecībā līdz pirmajai pakāpei, kā arī brāļi un māsas). Ministru kabinets var noteikt izņēmumus gadījumos, ja citādi attiecīgā iestāde nevar nodrošināt tai noteikto funkciju izpildi;
11.    man nav saglabājušās tāda disciplinārsoda darbības sekas, kas uz noteiktu laiku liedz ieņemt ierēdņa amatu.

Да, сроком не более трёх месяцев. Или можешь найти себе там красивую киприотку, которая тебе поможет устроиться там жить ))

Можно, если у него виза или он постоянный житель Латвии, а Латвия же член ЕС

Впринцыпе такой же как и у ирландцев. Одноклассница в прошлом году работала.На год безбедного житья заработала :)

везде кроме полиции

конечно!

можно конечно

мама ездила) у её никаких проблем не было

Вроде как практически во всех странах нельзя, только слышала что-то про Испанию, мол туда неграждане ехали работать.
А вообще мой совет: сдавайте на это проклятое гражданство и едьте уже в нормальную страну, а не куда попало.
Я вот например сдала, хотя латышский мне с детства как бич какой-то, не лез в голову... Просто походила на специальные уроки у частного преподавателя и поучила историю - всё, сдала с первого раза.