Если паспорт заканчивается в июне, могу ли я в мае ездить по евросоюзу?

По правилам нет. Что бы покидать страну паспорт должен быть годен еще хотя бы на 3 месяца. Лучше новый всё таки сделать, чем потом думать пустят или не пустят меня, буду платить штраф или нет.
А так, сомневаюсь что у тебя его проверять будут где-то, хотя щас может с этими беженцами могут и проверить где-нибудь. Вообщем мой совет - если есть время сделать щас, то лучше сделать щас и не париться.

А в некоторых странах минимальный срок до 6 месяцев.

http://www.pmlp.gov.lv/lv/sakums/pakalpojumi/personu-apliecinosi-dokumenti/pases/celosanai-nederigas-pases.html

Можешь

конечно можешь!