Зачем коту хвост?

Для балансировки.
Без хвоста кот не смог бы спокойно и надёжно пройти по ветке дерева.
Когда кот падает с высоты, хвост помогает ему упасть на лапы.
У гепарда длинный хвост, который помогает ему быстро изменить направление движения, когда он гонится за жертвой, в меньше степени, это так же работает и с обычными кошками.
В конце концов, это дополнительный способ общения, они могут обозначать своё отношение движениями хвоста.

Стабилизатор, если говорить технически
Возможно он им еще и пукало прикрывает, когда холодно

есть коты без хвоста так что не обязательно коту хвост для стабильности.

игратся и как подушку использовать

чтобы быть красивым

чтоб защемить дверью