Можно ли коту дать болеутоляющее?

Из доступных таблетированных обезболивающих могу назвать разве что катадолон. Но дозировка его для кошек неизвестна. Можно эмпирически попробовать давать по 20 мг 2 раза в сутки. Это медицинский препарат.
Из ветеринарных препаратов можно использовать, но с осторожностью, римадил. Для кота лучше применять таблетки по 20 мг, доза 2 мг/кг 1-2 раза в сутки. При возникновении рвоты или поноса препарат давать нельзя
Из проверенных, но нелегко добываемых препаратов: буторфанол (стадол, морадол, бутомидор) и трамадол (трамал), но это - инъекционные препараты. По их дозировке свяжитесь с ветеринаром.

в своё время моему назначали восьмую часть от таблетки но-шпины, два раза в сутки давали

В зависимости от случая - нужно !!  Если послеоперационный, свежие травмы и т.п.
Вы же про болеутоляющее не  от головной боли боли спрашиваете, верно  
Позвоните в несколько клиник и проконсультируйтесь. В несколько ибо их рекомендации будут разными.