Нужно ли полностью разряжать новый аккумулятор?

Зависит от типа аккумулятора. Литий-ионные или литий-полимерные (они сейчас почти во всех устройствах) не нужно, у них нет эффекта памяти, глубокий разряд наоборот вреден для них.

Я слышал вообще, чтобы продлить жизнь любого аккумулятора, в телефоне, ноутбуке и т.д. нужно давать ему всегда разрядиться полностью, а только потом заряжать...
Так же слышал, что бывают специальные зарядки, которые сами сначала разряжают полностью девайс, а потом заряжают...

Я не знаю на сколько это правда, но все рекомендуют новый аккумклятор хотябы несколько раз разрядить полностью и только потом заряжать!

Это было актуально из-за "эффекта памяти" только для старых (Ni-MH) аккумуляторов.
Современные литий-ионные и литий-полимерные не обладают эффектом памяти.

Старые, Ni-Cd и Ni-MH - да, их надо бы, эффект памяти и все такое.
Новые, литий-ионные и литий-полимерные - им вообще вреден полный разряд, они могут обидеться на это и взорваться нахрен. Ну или просто умереть. Хотя полностью разрядить не выйдет - там стоит контроллер, который не допустит этого.

от типа батареи зависит. Но если не знаешь, то лучше разрядить и дать полную зарядку  

нужно

Это к большей степени относится к пальчиковым аккумулятарным батарейкам. Важна первая зарядка, смотреть рекомендованное время зарядки на упаковке)

да.

первый раз желательно полностью разрядить, а потом зарядить

Да