Почему некоторые люди лукавят и говорят, что не зависят от мнения окружающих?

Это глупо.
Человек воспитывается в обществе, живет по законам этого общества.
Значит он уже зависит.
И если некоторые люди не понимают этого, то это печально.
Значит они не видят куда детей отдавать учиться например:
Хороший садик, плохой садик, хорошая школа - плохая школа для них тогда все равно.
Мы всегда зависим от мнения окружающих,
Одни люди разбираются некоторых в вопросах лучше чем я и я буду у них учиться.
Но я должен определить, насколько они лучше владеют вопросом.

хотят показаться 100% независимыми

Ну смотря что ты считаешь "зависеть от мнения окружающих"
если это мыться каждый день, что бы другие люди не отворачивались от тебя, так как от тебя разит потом и мочой, то это скорей не "зависеть от чужого мнения", а просто "любить себя"....

Может они действительно не зависят от окружающих?!
Хотя в наше время тяжело встретить человека которого не будут водить за нос, который знает когда его пытаются обвести вокруг пальца и т.д.

Очевидно, что в сложившемся обществе не возможно целиком и полностью абстрагироваться от окружающих людей. Так или иначе, на характер, мнение или восприятие мира любого человека влияют окружающие его люди...
Есть люди, для которых мнение окружающих людей очень важно, для других же оно важно в меньшей степини... А есть те, которые прислушаваются к тому, что им вещают окружающие и делают из этого собственные выводы. Правда, есть и полные долбаёбы, с какой стороны на них не посмотри, но это у же другая история...

обычное самовнушение, или подсознательно они в это верят...или действительно им все равно на мнение окружающих.

Takije kak raz zavisjat ot mnenija okruzajucih ... cto bi oni ne delali, gde bi oni ne delali, kak bi oni ne delali oni vsje vremja dumajut a cto ljudi skazut ?
zivut cjuzimi ziznjami, pitajutsja iz sebja stroit dobrih i porjadocnih a na samom dele ... polnoje
No est i pljusi v etom ... dlja menja skazem ... prihodish i govorish: Tvoju mashinu novuju zasr...i podcti vsje ... osobenno cvet kuzova ... Togda nacinaetsja cirk ... A kto skazal ....