Такой вопрос, может ли моя бабушка записаться к моему семейному врачу?

Она может стать на учет к любому семейному врачу (в т. ч. и к твоему), если у него есть желание и возможность ее взять.
Если ей такого найти не удается, то в районной поликлинике ей должны выделить семейного врача, у которого зарегистироваться.

За деньги запросто. Только зарегистрированные пациенты платят взнос в размере 1,- лат. Остальные по тарифу врача 8-10 лат.

может,если доктор согласится взять бабушку в пациентки

Конечно можно, но за первый приём всё таки придётся заплатить по тарифу врача.

конечно...