где можно сварить небольшую конструкцию из медной проволоки?

Может спаять? Медь прекрасно паяется. Паяльник 100 ватт купил в Depo и ваяй.
А так - залазь на ss.lv и ищи "сварка TIG" или газовая сварка. Полуавтомат и электродная не подойдут. Теоретически оно как бы можно, но надо спец. электроды и спец. проволоку покупать, никто ради такой мелочи это делать не будет. В автосервисах почти всегда полуавтомат, редко когда электродная. И оочень редко когда TIG.

TIG - расплавляет свариваемое, а добавочный материал подаётся в зону расплава вручную. Там можно что угодно подсовывать ) Хоть обрезок того же провода. Та же фигня газовая сварка. Только температура образуется газовой горелкой.

Мне кажется проволоку хер варят ваще, нет?
Если там достаточно толстый прут и особых нагрузок нет, то можно и обычным полуавтоматом тыкнуть. Ну или попробуй в астосервисы, где аргоном диски варят. На Матиса почти у переезда есть один.
А если тонкая, то попробуй газом.