какой антибиотик лучше давать если температура держится уже неделю и кашель сильный, и какой лучше и дешевле принимать прибиотик?

Никакой антибиотик. Организм сам должен выработать защитные средства.
Лучше выпить каких вспомогающих веществ. Витамины, отвары, сиропы.
А так же делать полоскание, прогревание.

По вопросу приема антибиотиков надо консультироваться только с лечащим врачом!
И потом, КОМУ давать? Ребенку, взрослому, возраст?

из пробиотиков самый выгодный по цене/качество пока пользую LactoSeven

Насчёт антибиотика - это только врач ответит. Зависит от кашля, какой сухой или мокрый, от возраста, от болячек и от заразы. Или это вирус или это бактерии. Если вирус - его антибиотиками не лечат.

Если мокрота отходит с трудом, вязкая, купите какой-нибудь муколитик в добавку к антибиотику. Амброксол (он же Бронтекс), например. Облегчает отхождение слизи, она легче выводится, отёк реснитчатого эпителия спадает, выработка слизи уменьшается. Короче говоря, ускоряет выздоровление.
Если кашель сухой, дерущий горло, муколитик не надо.