кто знает в Великобритании можно работать part-time без insurance number & home office?

Да, называется это дело cash-in-hand, иными словами, на лапу. Обычно маленькие предприятия и магазинчики которые не хотят платить налогов просто платят в конвертике. Но такая "устная" договоренность с работодателем не дает никаких гарантий и страховки тоже не будет. :(

можно и на full time устроиться без него, просто потом надо будет получить, а устроиться и без него можно.

Насколько слышал что нет.

нет