часто слышу такие вырвжения-ЕТИШКИНА ЖИЗНЬ и ЕЖКИН КОТ.вопрос-кто такой ЕТИШЬКА и ЕЖ какая у них жизнь и откуда там кот?

Про кота-ежкин кот- это кот бабы Яги,слово ежкин значит "принадлежащий Яге".

Это эффемизм, используемый для маскировки матерных ругательств на букву "Е".   Аналогично - ЕДРЁНА мать и т.п.

Сашина правда. Японский городвой, ёжкин кот, ёкарный бабай, ёклми и т. п. -- изменённое обсценное «ебать твою мать». Так сложилось исторически. Надеюсь, модераторы простят за мат в научных целях.

Цитата:

К "матерной" брани в данном значении этого понятия могут быть отнесены также выражения, порожденные запретом на употребление в выражении («... твою мать») обсценных глаголов ебать, ебсти, ебти, ебить, ебуть, етить, еть, когда обсценная лексика оказывается в целом табуирована: «мать-перемать», «мать твою налево», «мать твою через тульский самовар», просто «мать!» Естественно, к "матерщине" вплотную примыкают выражения, образующиеся в результате двойного табу сразу двух частей выражения (и слова ебать, и слова мать): «етитский бог», «японский городовой», «ёкарный бабай», «ёк-королёк», «йогурт-пармалат», «ядрёный корень», «ядрёны пассатижи», «ёж твою ять», «блядь твою влево», «хлябь твою твердь», «любить-колотить», «ёлки-палки», «ё-мое», «ё-ка-лэ-мэ-нэ», «ёкалыманджары», «пес твою раздери», просто «ё!» и многие другие. Все это не может не размывать границ понятия "матерной" брани.

http://plutser.ru/mat_definition/derenition_mat