Граждани европейского союза могут жить в любой его части?

Конечно. Особенно, когда есть деньги. Тогда тебе везде будут рады, до тех пор пока они есть разумеется))

только в западной

Нет, проживать могут, если законно послушный гражданин(нет кредитных долгов и не судим), а так-же если есть какие-то средства существования(в каждой стране по разному).

всё не так просто. с латвийским например паспортом надо хоть один день каждые пол года быть в Латвии.