Жидкий насморк, чихание, слабость, немного слезятся глаза. Это точно не аллергия. Тогда с чем это может быть связано и что за болезнь?

Вполне возможно, что это из-за сухости воздуха в помещении, т.к. сейчас топят.
Сухой воздух раздражает слизистую носа, от этого начинается жидкий насморк, т.к. нос пытается хоть как-то защитить себя от пересыхания. Глаза при этом тоже слезятся. Сопли - благоприятная среда для развития микробов, на фоне насморка начнёт развивать простуда, другие заболевания дыхательных путей.
В отопительный сезон в квартирах очень низкая относительная влажность, всего 20 - 30%, хотя нормальная, комфортная и безвредная для здоровья относительная влажность составляет 40-60%.
Можно увлажнять воздух с помощью мокрых полотенец на батарее, кастрюльки с горячей водой, специального увлажнителя воздуха. Разница очень ощутима, на самом деле.

обычная простуда

у меня такое всегда когда я приезжаю на дачу ...

Из раздела "Не знаете, как фильм назывался, про Титаник еще?"  
Это простуда, начальная ну или типо того стадия. Можно уже начинать лечиться

такая же хрень при отравлении слезоточивым газом.    

хотел бы я посмотреть на твердый насморк

  Начало простуды.