Как выглядят роутеры, которые можно подзарядить а потом пользоваться без сети, в которые сим карта вставляется ?

Протри контактную часть, может из-за - мороз-тепло глючит.

а почему бы его не перепрошить? :) или, как уже сказали, копайся в настройках, ищи, где там ограничения какие-нибудь есть

Тебе нужно модель роутера и ИМЕИ, есть в онлайне или на трекерах есть такие проги, что выдают код, этот унлок код вставляешь в окно роутера, данной процедуры и вуаля, отвязался!

рутер для локалки это gateway
т.е. тебе надо либо на рутере настроить DHCP чтоб адреса выдавались автоматически и на компах поставить всё по автомату. Либо на каждом компе прописать локальный IP, mask, gateway, dns
Но в итоге должно быть примерно так:
Рутер имеет два адреса - внешний, который даётся провайдером и внутренний, к примеру 192.168.0.255
маска для внешнего, Gateway и DNS это провайдера
Каждый комп в LAN тогда должен быть из этой же подсети что и внутренний адрес рутера
т.е. у первого, к примеру, будет 192.168.0.1  mask  255.255.255.0 gateway 192.168.0.255  dns1 192.168.0.255 dns2 любой dns сервер
У второго всё точно также, только IP будет 192.168.0.2  
IP pool в настройках рутера - это диапазон IP, из которого будет выдаваться каждому компу новый IP адрес по запросу компа (когда он включается). Можно и так и так. На одном, скажем, все сетевые настройки получают с рутера, на другом всё прописано ручками.

Плюс, чтоб компы друг друга видели по My Network Places, желательно, чтоб были одинаковые протоколы на обоих установлены, если IPX/SPX/Netbios, то на обоих. И одна рабочая группа прописана. Её менять там же,  где и имя компа - в свойствах Моего Компьютера.

Хм, это какой же провайдер ставит клиенту маршрутизатор? Все, с кем сталкивался, давали линк и IP (или диапазон), а маршрутизатор - по желанию клиента. Мелкие провайдеры делают привязку MAC и IP, при замеме интерфейса требуется сообщить провайдеру, что оборудование поменялось. Это во-первых. Во-вторых, проверьте настройки IP внешнего интерфейса маршрутизатора - одна ошибка и ничего не будет работать.

в настройках рутера сделай его закрытым :)
не знаю как в твоём, на моём в настройки заходить через http://192.168.0.1

Если на 100% настройки идентичны, то,возможно, пароль неправильно вводишь.
Попробуй сделать так : введи пароль в текстовый редактор ,скопируй и вставь в окно ввода пароля.

Либо в настройках рутера запрещено подключение более 1 клиента.
Либо стоит фильтрация по МАС-адресу. Или ещё какие-либо ограничения.

Нет, если конечно не какой-то специфический контракт со странным провайдером
Бывает на роутере ставится маска с диапазоном какой дали (если интернет в здании делят на всех),
а лично дома так вообще обычно нет лимита можно сказать

Обычно эта инфа пишется в логи, которые выводятся в разделе статуса или local area network dhcp list, ip address list ... Можно найти мануал в нете на сайте производителя рутера по моделе рутера, скачать на родном языке и найти это там.

А почему он НЕ должен его принимать, если рутер настроен правильно? o_O Просто могут возникнуть проблемы, если будет использоваться шифрование WPA, WPE (т.е. какой-то ключ сети и т.д. и т.п.). К тому же с шифрованием падает скорость, но зато безопаснее вроде как :)
Что касается Вашей ссылочки... Так там же в самом верху написано: WIFI:802.11b/g wireless internet - если это не шутка со стороны сайта, то таки ДА - и-нет будет! ;)