Как вы думаете, существовал ли какой-то древний язык, который был общим "предком" балтийских и славянских языков?

Виктор Гусев проделал на эту тему очень не плохую работу.

В Великом Княжестве Литовском русский был официальным языком.

Мне близка версия, что в мире был один язык, а потом один народ разделился по планете и у каждого такого "племени" постепенно сложился свой язык, но корни одни, поэтому и многие религии схожи (ооочень схожи) и слова многие похожи. Думаю, что первый язык близок к санскриту.  

"Существует версия, согласно которой санскрит можно рассматривать в качестве прародителя современных национальных языков, в том числе и русского. В пользу этой версии свидетельствует сходство санскрита с языком старой Руси. Изучение истории русского и европейских народов позволяет найти схожие элементы в их культурах. Это может означать, что до разделения религии на известные сегодня традиционные направления, культура древнего мира была единой."
http://taboo.su/istoriya/nasledie-predkov/256-sanskrit.html

"Русский Язык, а точнее древнеславянский, является прародителем всех языков в мире — доказано учеными. Например, санскрит — потомок древнеславянского языка."
https://www.youtube.com/watch?v=e9YiunHEVvA

Sanskrit                        Latvian

1. Pada (foot in English)         1. Peda
2. Surya (the Sun)                  2. Saule
3. Danam (to give)                 3. Davat
4. Agni (fire)                           4. Uguns
5. Madhu (honey)                   5. Medus
6. Bhratr (brother)                  6. Bralis
7. Yatra (pilgrimage)               7. Jat (to ride a horse)
8. Aksha (eye)                        8. Ace
9. Dvar (door)                         9. Durvis
10. Svapnah (dream)             10. Sapnis
11. Mishra (mixed)                 11. Maisit (to mix)
12. Bhu (to be)                      12. But
13. Ubha (both)                      13. Abi
14. Mrityu (death)                   14. Mirt (to die)
15. Jiva (living being)              15. Dziva (F) - to be alive
16. Sva (my own)                   16. Sava (my own)
17. Vayu (wind)                      17. Veju (wind - in the accusative mode)

Первый бог индоевропейского пантеона - это Dievs, божество сияющего дневного небосвода, о нём говорят как божестве справедливости, мудрости, благоприятствования роста растений. Dievs имеет много "двойников" в других индоевропейских языках и прежде всего в балтийских: у литовцев это Dievas, у пруссов – Dēiws, в праязыке балтов он был Deivas, здесь соответствие этих слов очевидно. В латинском языке есть Deus, что восходит к более древнему Deivos, по гречески – Zeus, что по мнению языковедов раньше звучало, как Djēus, у германцев – Tīwaz. В санскрите два варианта – dyaus "дневной свет" и божественное "небесное", "божественное создание" более древний общий смысл этих слов - "бог дневных сияющих небес".

Существовал язык арий (вендов), язык прародителей славян. Латышский язык даже ближе к арийскому, т.к. изменился в меньшей степени, чем современный русский.
Если интересна эта тема, советую почитать книгу нашего историка Игоря Гусева - История балтийских русских. Там подробно описано распространение арийского языка, прародителя славянских и балтийских языков. Можно купить в книжном магазине Полярис.

итак, цепочка выглядит так: индоевропейский - праславянский - старославянский - древнерусский - русский. предки латышей - балты пришли из северного Урала, балтийская ветка растет из славянской, поэтому да, истоки у нас абсолютно общие и этому есть масса подтверждений даже из примеров современного латышского и литовских языков (оставшихся балтийских):
*pol’e -> pļava, *kamy - > akmens, *mǫka -> milti и др. существует поднаука в составе филологии, в частности языкознания, которая занимается происхождением слов - это этимология. это , может корявая, но научная справка вполне подтвержденная и усвоенная на лекциях.

а разговоры об ариях я бы оставил бытовым конспирологам, оккультистам и прочим загадочным натурам, склонным к мистическим умозаключениям.  

да язык жестов