Как называется аккумулятор который включается когда нет тока в сети?

Потому что "отень десева".
Я уже летом один купил. Благо, сдал в магазин по гарантии. Барахло, которое на пятый день дало отказ, точно такой же как у тебя. Села батарея - и умер. Вот я и подумал, что не нужна мне такая вещь, которая в самый нужный момент может отказаться работать.

включи телефон на подзарядку, если индикатор зарядки засветился - идём далее,
оставляем так телефон на минимум 30 минут, далее пробуем включить телефон - если включится то саморазумеется всё ок, пользуйся. (это часто бывает и с современными телефонами, что когда телефон разрядится до того момента когда он просто вырубится включить его не получится сразу же поставив на зарядку, тоесть он дожен разядить какрй то минимум)
если нет, то или накрылась батарейка или в худшем случае может что то именно в гнезде телефона или зарядном устройстве не так работает как надо.

по гарантии в ремонт 85% заводской брак.

Проверьте свои руки, может вы просто не знаете как его включить? Может вы случайно нажали кнопку LOCK и из-за этого он не отвечает на любые попытки его включить?:)

40 евро.

Или Wifi просто не включён, надо адаптер включить.
Или если делали update драйвера, а не с нуля ставили, можно сделать откат(roll-back)

Если ноут подключен к сети, то заряженный аккумулятор я вытаскиваю - так, говорят, дольше сохраняется его ёмкасть/изнашивается

Желательно не стоит. Но я не вижу проблемы потратить секунду и выдернуть шнур:-)  

Конечно, от сети, причем гораздо выгоднее - от чужой.

Написано ж - USB.