Можно ли как-то сохранить все закладки, которые стоят у меня на Мозилле?

конечно. http://www.ehow.com/how_1000389_export-save-bookmarks.html

Да. Закладки - Управление закладками
Откроется новое окно и там сверху Импорт и резервное копирование - Резервное копирование.

Потом на любом другом компьютере импортируй этот *.json файл и будет тебе щасте :)

есть 2 варианта.
1. можно сделать экспорт как рекомендовали тут выше и на другом компьютере сделать импорт.
2. Можно найти с помощью поиска на компьютере файл places.sqlite и перенести его на другой компьютер.

Мозила с версии 3.Х и выше начала вести запись закладок в формате SQL. перенеся этот фал ты перенесешь не только закладки, но и записанные логины и пароли. Если конечно это делала.

да, посмотри в обновлениях мозилы, там есть такая прога xmarks называется, она автоматически будет синхронизировать все твои закладки, потом сможешь с другого компа даже заходить в свои закладки без проблем и на всю жизнь они будут храниться, так что никакой утечки информации