Обязательно ли наличие кассового аппарата для интернет-магазина?

нет. можно выписывать чеки строгой отчетности.
но если у вас есть офис в который можно придти за товаром и на месте расплатится то нужна

Вообще за разъяснением этих моментов стоит обратится в налоговую инспекцию, но насколько я знаю возможны варианты: при покупке книг через интернет-магазин мне привозили чеки из кассового аппарата, а мастер устанавливающий окна выписал мне квитанцию из специальной книжки. В этой книжке пронумерованные квитанции с корешками, квитанция выдаётся клиенту, а использованная книжка с корешками является документом отчётности для налоговой. Там же в налоговой, насколько я знаю, эти книжки приобретают и регистрируют. Вот только думаю, что при более менее активной торговле кассовый аппарат будет намного удобнее и в конечном итоге дешевле чем эти книжки с квитанциями   .
Но опять же повторю - что бы не накосячить, обратитесь за разъяснениями в налоговую - они там точно знают какие есть правильные варианты! Удачи!

с какого перепугу там нужен кассовый аппарат? нет.