Сколько дней без регистрации по месту жительства можно жить в другой стране?

Да, три дня. При этом надо сохранить билет с поезда (самолёта и пр). И лучше иметь обратный билет - тогда вообще вопросов не будет.
Вот так. И это касается даже граждан России других городов, хотя в Конституции прописано: "Каждый, кто законно находится на территории Российской Федерации, имеет право свободно передвигаться, выбирать место пребывания и жительства."

три рабочих дня(выходные не считаются)

3 дня

Насколько я понимаю регистрации как таковой в Европе не существует