Я, на своём сайте, хочю сделать страницу заявок. Какой мне нужен скрипт, чтоб заявка появлялась, на сайте после заполнения формы?

не думаю что для подобной мелочи есть скрипты, работа будет с помощью базы данных(напр. mysql) читай темы по php - "Работа с Базой данной" в частности какие бывают запросы(SELECT,UPDATE......), составление запросов, ну и работа с ними при помощи php.
Если же сайт для баловства(заявок много не будет), можно реализовать при помощи файла-базы, это многократно медление чем первый вариант.

Алгоритм примерно таков:
1) соединение с базой mysql_connect("localhost","login","pass")
2) выбор базы с которой будет работа
3) соотвественно добавлению в эту базу, после отсылки формы
4) обход циклом базы и вывод её содержимого(заявок)

Тут можно почитать про запросы, примеры работы с ними и т.д
http://lv.php.net/manual/ru/ref.mysql.php

нужна база данных, и нужен php скрипт.