если взять любое трёхзначное число...

Potamu, 4to holodec..oj gladiolus :DD

1. Существует следующий признак делимости чисел на 7, 11 и 13.
Проверяемое число разбивают на грани по три цифры, начиная справа. К получившимся трехзначным числам приписывают поочередно знаки плюс и минус и складывают их. Если сумма делится на 7, то на 7 будет делиться и исходное число. Аналогично для делимости на 11 и 13.
Если проверять этому признаку предлагаемое в вопросе шестизначное число, то оно всегда разобьется на два одинаковых трехзначных, между которыми будет стоять минус. Следовательно тестовая сумма всегда равна 0. Поскольку 0 делится и на 7, и на 11 и на 13, то делится и рассматриваемое число.
2. Это число будет делится также на 77, т.к. 77=7*11, на 91, т.к. 91=7*13, и на 143, т.к. 143=11*13 (если число делится на какие-то числа, то оно делится и на произведение этих чисел).

потому что приписывая такое же ты просто умножаешь это число на 1001, а 1001 = 7 * 11 * 13