можно ли ездить на квадроцикле 125сс по поселку в 13 лет ?

Белые права - это разрешение на обучение вождению под руководством инструктора. Они не дают права управлять транспортным средством самостоятельно, в том числе и мотороллером.
Даже если всего 50 кубов все-равно необходимы права соответствующей категории.

квадроцикл это B категория , можно получить с 18 лет
125 кубов с 16 лет
250-600 кубов с 18 лет
Любые мотоциклы без ограничений по мощности с 21 года (с 2013 года с 24 лет)  

скорее всего нет. для 125 кубиков нужны права.

С головой порядок ?

Сцепление до конца, скорость - по оборотам - звуку мотора.

да.  25ls

B1 http://www.csdd.lv/lat/vad_kva/vaditaja_apliecibas_sanemsana/
Права B (на автомобиль) тоже годятся

да,если не ошибаюсь это категория Б1

Вот: www.ss.lv/ru/transport/moto-transport/quadrocycles/

Все зависит от того, сколько там кубиков, если я правильно понимаю...
По поводу некоторых, на которых нельзя ездить: можно только в том случае, если на них есть поворотники :)