Обычные компы запускаются. Ноут скорее всего тоже должен. Как бы эта батарейка поддерживает память, в которой хранятся настройки биоса и часы, больше ничего.
постоянно держать на зарядке можно если есть утилита (от производителя) которая не дает заряжать выше 80% от максимального заряда (у меня ноут Samsung с таким режимом за 4 года эксплуатации потерял около часа емкости, вначале хватало на 6 часов теперь на 5 от полной зарядки), если же такой нет, то лучше выключать зарядку при заряде до 100% или через несколько лет батарея придет в негодность. А циклы заряд-разряд-заряд-разряд обычно для современных батарей это нормальный режим.
Начинай писаться... У нас на складе должны быть такие батареи (Рига). По цене только не могу сейчас сказать...так как праздники. Обычно от 30 до 70 евро
Помог бы номер модели твоего ноута. Если ноут старый, от 3х лет то в райёне 20-25лс, если новый, то примерно 35-45. Но опять же зависит от модели. Есть мастерские кстати, где могут отреставрировать батарею за меньшие деньги. Удачи!