можно ли запустить ноут без батарейки!?

постоянно держать на зарядке можно если есть утилита (от производителя) которая не дает заряжать выше 80% от максимального заряда (у меня ноут Samsung с таким режимом за 4 года эксплуатации потерял около часа емкости, вначале хватало на 6 часов теперь  на 5 от полной зарядки), если же такой нет, то лучше выключать зарядку при заряде до 100% или через несколько лет батарея придет в негодность. А циклы заряд-разряд-заряд-разряд обычно для современных батарей это нормальный режим.

Начинай писаться...
У нас на складе должны быть такие батареи (Рига).
По цене только не могу сейчас сказать...так как праздники.
Обычно от 30 до 70 евро

Да стоит.
Зарядить один раз и вынуть - будет достаточно.
Заряжать надо только в том случае, если ты её разрядишь.

Если ноут подключен к сети, то заряженный аккумулятор я вытаскиваю - так, говорят, дольше сохраняется его ёмкасть/изнашивается

тут 2 варианта: либо умерла батарейка, либо контроллер, отвечающий за батарейку.

советую, отнести в ремонт, чтобы тебе сказали, что сломалось. если батарейка - купить новую. но по признакам скорее всего батарейка умерла.

Очень сильно - понятие растяжимое. Для кого-то это 70 градусов, для кого-то - 40.
Если всё работает корректно, не появилось новых звуков / запахов, то можно предположить, что на данный момент всё ОК

В зависимости от модели.

вот он вроде

Об уходе и эксплуатации литий-ионных батарей можно подробно ознакомиться в статье Правильная эксплуатация аккумуляторных батарей.