Влияет ли на работу ноутбука отсутствие аккумуляторной батареи?

Нет не влияет.
А если ноут новый и вы собираетесь например его использовать
просто как настольный, с постоянным питанием от сети, то
и вообще втыкать аккум не имеет смысла, без полного цикла
от заряда до разряда в ноль, батарея просто обязана умереть за
6 месяцев, будет держать максимум полчаса.
Так что в настольном варианте, новую батарею можно вообще
отстегнуть и тем самым увеличить срок её жизни.
А если нет батареи - большинству моделей ноутов это пофиг.
Встречал как-то давно лишь несколько, которые без батареи было не включить,
но современные производители вроде больше не используют эту схему.

Никак не влияет. Единственное, при исчезании напряжения (пробки выбило ,например) ноут у тебя внезапно вырубится. Последствия бывают разными.

Для десктопа блок бесперебойного питания советуют иметь, а это тоже аккумулятор. Для лаптопа своя батарея его заменяет.