Занимается ли психиатр лечением фобий?

А как-же.Основная его задача.

Направляет на психотерапевтическую помощь..

да, но больше изучением что бы понять природу страха

зависит от природы фобии (головой ударилась или собака напугала)
скорее, всего надо обращаться к психологу или психоаналитику

психиатр лечит при помощи медикаментов
психолог обходится без лекарств

обратись в частную клинику в частном порядке - и записи в твоей личной карте не будет : )
страхи по поводу учета сильно преувеличены; не вижу в этом ничего постыдного