Как научиться подтягиваться более 20 раз? (Влияет ли то что я подтягиваюсь с весом)

На счет 20 раз...подтягиваться можно, но не обязательно уж каждый день. Хотя кому как. Но мне кажется, что через день, иногда через 2 норм будет. Но так чтоб в несколько подходов. Смотри сколько сначала можешь.  Например, 5 подходов. Например, в первом подходе 7, во втором 6, в третьем 6, в четвертом 5, в последнем 5. Первые недели две на легке, если только начал. Не особо увеличивая. А потом, когда будет казаться что мало, то стоит увеличивать на 1, в трех из пяти подходов, например. Короче, больше свободы.
Вообще, можно и с другими упражнениями совмешать, брусья, какие-нить выходы, отжимания. Может что получится. Может и увеличит кол-во тоже.
Подтягивания с весом это больше на массу работа(правда, без нормального кол-ва еды вся эта работа бессмыслена). Правда, массу на турнике и брусья приличную, выше 75-80кг набрать очнеь затруднительно.

Можешь в "американку" с друзьями играть (каждый делает 1 раз, потом каждый по 2 раза итд.) главное подтягивайся больше

делай несколько подходов подтягиваний (4-5) в среднем количестве от того, сколько можешь. Тренировки с весом всегда большой плюс, дерзай )

конечно.