Почему безбилетников называют зайцами,а не другими животными?

Заяц ассоциируется  с трусостью или с прыткостью и проворством. Поэтому безбилетников называют именно зайцами.
В 19 веке зайцами называли безбилетных пассажиров поездов, которые платили лично кондуктору символическую сумму за проезд. Такие пассажиры должны были вести себя очень тихо, не привлекать внимания, опасаясь штрафа (вести себя подобно зайцу, прячущемуся от хищников).

Пассажир становится трусливым и изворотливым, как заяц.

Безбилетник («заяц») — пассажир, уклоняющийся от оплаты своего проезда, или зритель, проникший на какое-либо зрелищное мероприятие (в театр, в цирк, на стадион и т.п.) без билета.
На этот вопрос нам поможет ответить историко-этимологический справочник «Русская фразеология» . По одной из версий, в обороте ехать зайцем есть намек на то, что безбилетный пассажир боится быть пойманным и оштрафованным. В славянском народном сознании заяц – это просто олицетворение трусости. Вспомним хотя бы, что о боящемся чего-то до дрожи человеке говорят: дрожит как заяц. Заяц, кстати, действительно сильно дрожит, когда прячется от надвигающейся опасности. А о человеке, который всего боится, говорят: труслив как заяц. У зайца сердечко маленькое, вот эмоции и бьют через край, заставляя косого дрожать. А в народе о таком «маленьком сердечке» говорят: заячья душа.
Но вернемся к безбилетным пассажирам. По другой версии выражение ехать зайцем отдает должное проворству зайца, его прыткости и прыгучести и происходит от оборотов проскочить зайцем, прошмыгнуть как заяц – пройти незамеченным.
В обиходной речи зайцами стали сначала называть зрителей-безбилетников, ухитрявшихся прошмыгнуть в театр мимо зазевавшихся билетеров. Ну а потом так стали называть и безбилетных пассажиров. О зайцах писал, например, Чехов в рассказе «В вагоне» : «На железных дорогах зайцами называются господа пассажиры, затрудняющие разменом денег не кассиров, а кондукторов. Хорошо, читатель, ездить зайцем! Зайцам полагается по нигде еще не напечатанному тарифу 75% уступки, им не нужно толпиться около кассы, вынимать ежеминутно из кармана билет, с ними кондуктора вежливее и... Все что хотите, одним словом!»
Но есть еще и третья версия происхождения оборота ехать зайцем: некоторые ученые предполагают, что это – калька с французского aller (voyager) en lapin, с теми же намеками на трусость и прыткость кролика. Но, спрашивается, зачем нам их кролик, когда у нас есть свой заяц?! Нет, я за русские корни наших отечественных зайцев. А кролики пусть за границей ущерб бюджету транспортников наносят...

зайцы всегда трясутся...боязливые.

Потому, что понятия "свинья", "собака", "слон", "олень", "дятел" и др. - уже заняты другими людьми.