можноли на мотокросссовом мотоцикле ездить по городу?

O_o почему нет?

взависимости когда получил Б категорию если до середины 2008 года то имеешь права до 125 кубов управлять, если позже октября 2008 года то нет

квадроцикл это B категория , можно получить с 18 лет
125 кубов с 16 лет
250-600 кубов с 18 лет
Любые мотоциклы без ограничений по мощности с 21 года (с 2013 года с 24 лет)  

если мощность мотоцикла до 125 кубиков.

Motocikls* bez blakusvāģa, kura motoru darba tilpums nepārsniedz 125 cm3 un jauda nepārsniedz 11 kW, kā arī tricikli, kuru jauda nepārsniedz 15 kW

ну и мотороллер с ним

На двухколёсных мопедах с немоторами до 125 кубических сантиметров. Априлии, Ямаха Ёбрь, ещё пару китайских вариантов...
Я бы не стал называть "это" - мотоциклами :) в принципе хороший снаряд, чтобы научиться "с нуля" не падать на каждом повороде и не боятсья любого автобуса или камаза, да и вообще понять - нужна ли тебе потенциально смертельная категория "А" и такое хобби. правда есть одна проблема - 125-тки очень быстро станет "не хватать", примерно через неделю =) а продать его будет сложновато! Только такому же ламеру.

Если шлем закрытый, то да, почему бы и нет.
Если шлем открытый, то защитные очки в любом случае лучше одевать.
Всякие жуки на скорости около 100 км вышибают глаза на ура. ;)

с категорией А на любом.

Всех!
А1 до 125 cc, А2 до 500сс, А - все!