DNB банки работают в этот понедельник?

нет,сейчас это российский банк

Все филиалы до 17:00, а в Спице и Старой Риге на Грециниеку 9 до 18:00

Swed + Parex

Не запутывайте человека.
4 мая все филиалы PrivatBank будут закрыты.

Завтра 4-го мая, 2016 года государственный праздник и официальный выходной день.

Неправильно сформулирован  вопрос. Подключить интернет-банк можно в любом филиале, взяв необходимые документы (паспорт). Дадут все данные и пожалуйста.
Пользуюсь услугами Swedbank, советую.  

Конечно, можно.
Но в зависимости от используемой валюты может оказаться, что необходимо указать корреспондирующий банк (т. е. банк-посредник при переводе). Это нужно выяснить в принимающем банке (т. е. в вашем случае в латвийском Сведбанке).

BIC (Bank International Code), раньше звался SWIFT, других банковских кодов нет.

да.