Почему в втором случае он добавляет ноль и не объясняет почему? Ведь если ноль в конце не добавить, то ни черта не получится. Брр, а, математика.
Почему в втором случае он добавляет ноль и не объясняет почему? Ведь если ноль в конце не добавить, то ни черта не получится. Брр, а, математика.
Комментарии (14)
Не знаю, с опытом развивается что-то типа чутья или интуиции. Я на пары разбивать тоже не додумался. Но ясно, что интересующая нас величина [n] - сумма цифр - гладенько меняется внутри каждого десятка, и, значит, в пределах любого десятка приём юного Гаусса можно было бы использовать. Кроме того, если бы последнюю цифру игнорировать, то в пределах сотен тоже гладко. И так далее. Вот график суммы цифр n в зависимости от n для первой тысячи. И грубо говоря, нужно найти площадь фигуры под ним. Если отрезать правую половину, перевернуть и совместить зубцы с выбоинами (то есть взаимно компенсировать изломы на границах десятков, сотен, тысяч...), то получится прямоугольник (если дотошно, то с отростком!), площадь которого находится проще. И вот, наверно, для кого-то эта возможность очевидна. (Кстати, наглядно, что на 1000 провал, а пик, который можно было бы невозбранно впихнуть в провал на 0, находится на 999, так что прямоугольник позволил бы найти площадь от 0 до 999.) Как-то так.
Не знаю, с опытом развивается что-то типа чутья или интуиции. Я на пары разбивать тоже не додумался. Но ясно, что интересующая нас величина [n] - сумма цифр - гладенько меняется внутри каждого десятка, и, значит, в пределах любого десятка приём юного Гаусса можно было бы использовать. Кроме того, если бы последнюю цифру игнорировать, то в пределах сотен тоже гладко. И так далее. Вот график суммы цифр n в зависимости от n для первой тысячи. И грубо говоря, нужно найти площадь фигуры под ним. Если отрезать правую половину, перевернуть и совместить зубцы с выбоинами (то есть взаимно компенсировать изломы на границах десятков, сотен, тысяч...), то получится прямоугольник (если дотошно, то с отростком!), площадь которого находится проще. И вот, наверно, для кого-то эта возможность очевидна. (Кстати, наглядно, что на 1000 провал, а пик, который можно было бы невозбранно впихнуть в провал на 0, находится на 999, так что прямоугольник позволил бы найти площадь от 0 до 999.) Как-то так.
[2] + [999999] = 2 + 54 = 56,
[500000] + [500001] = 5 + 6 = 11.
А если мы начнём с 0 и 999999, то какая будет 500-тысячная пара?
[2] + [999999] = 2 + 54 = 56,
[500000] + [500001] = 5 + 6 = 11.
А если мы начнём с 0 и 999999, то какая будет 500-тысячная пара?
Но нас не интересует сумма самих чисел (то, что считал Гаусс):
1 + 1000000 = 1000001,
2 + 999999 = 1000001,
500000 + 500001 = 1000001 - это не то.
Нам нужна сумма цифр этих чисел. При вот этой группировке, она не одинаковая и никакого упрощения от такой группировки не получается:
[1] + [1000000] = 1 + 1 = 2,
[2] + [999999] = 2 + 54 = 56,
[500000] + [500001] = 5 + 6 = 11.
Если крутить одометр, то сумма цифр не меняется монотонно - при смене разряда с 9 на 0, происходят скачки. С целью составить пары с неизменной суммой, афтар так совмещает накрутку одометра со скруткой, чтоб скачки были симметричны и друг друга компенсировали.
Например, 9 -> 10 (сумма меняется на -8) и 999 990 -> 999 989 (∑ +8),
или 999 -> 1000 (∑ -9-9-9+1) и 999 000 -> 998 999 (∑ -1+9+9+9).
Для наглядности можно выписать суммы для первых 20 чисел и для последних 20.
Можно избавиться от этого подвоха, если заметить, что от 000 000 до 999 999 в каждом разряде побывают все цифры от 0 до 9.
И для любого отдельно взятого значения каждого из 6 разрядов, остальные разряды побывают в 10^5 возможных комбинаций. То есть в первой позиции цифра 0 будет 100 000 раз, и цифра 1 будет 100 000 раз, ... и цифра 9 будет 100 000 раз, и во второй позиции так же, и т. д для всех 6 позиций. Поэтому можно сумму цифр от 0 до 9 умножить на 100 000 раз и на 6 разрядов: 45 * 10^5 * 6, и затем прибавить 1 (число 1 000 000 отложили в сторонку).
И для любого отдельно взятого значения каждого из 6 разрядов, остальные разряды побывают в 10^5 возможных комбинаций. То есть в первой позиции цифра 0 будет 100 000 раз, и цифра 1 будет 100 000 раз, ... и цифра 9 будет 100 000 раз, и во второй позиции так же, и т. д для всех 6 позиций. Поэтому можно сумму цифр от 0 до 9 умножить на 100 000 раз и на 6 разрядов: 45 * 10^5 * 6, и затем прибавить 1 (число 1 000 000 отложили в сторонку).
Например, 9 -> 10 (сумма меняется на -8) и 999 990 -> 999 989 (∑ +8),
или 999 -> 1000 (∑ -9-9-9+1) и 999 000 -> 998 999 (∑ -1+9+9+9).
Для наглядности можно выписать суммы для первых 20 чисел и для последних 20.