Как затянуть рассмотрения иска?

Поскольку выселяют и детей то можно обратиться сюда - должны поддержать.
Valsts bērnu tiesību aizsardzības inspekcija
http://www.bti.gov.lv/lat

Konsultācijas uzticības tālrunī sniedzam tajos gadījumos, kad cilvēkiem nav izdevies saņemt nepieciešamo informāciju vai atbalstu ne vienā no attiecīgajiem oficiālajiem valsts dienestiem.
http://www.rnc-rtb.lv/kontakti_lv.html

Как только в картине появляются дети - многое меняется. Там не затягивать иск надо, а по инстанциям походить, с адвокатами пообщаться

Вам нужно адвокатов хороших, которые подадут соответствующие документы для приостановки процесса, если это вообще возможно по вашему делу. Если хотите, могу дать адрес и телефон настоящих профессионалов, которые разруливают реально сложные и даже на первый взгляд безнадёжные ситуации.

Нужно находить или придумывать уважительные причины неявки в суд. Для этого надо предоставить соответствующие документы. Можно также куда-нибудь уехать по уважительной причине.