Как открыть больничный, если семейный врач по выходным не работает?

А зачем тебе именно на выходных больничный? Больничный может быть выписан врачем уже и после болезни (для предьявления на работе, например). + Не знаю такой работы, где требовали бы больничный в первый день(дни) болезни.

дежурный врач работает в любой поликлинике по выходным, потом его (больничный) закрывает твой лечащий врач.

в травме можно

сходи завтра и пусть выпешут задним числом

В понедельник идёшь и берёшь больничный. :)