На каком основании банки имеют права закрывать счета ?

Ничего не надо. Наоборот, ты подпишешь, и тебе еще новые дадут. Свидетельствующие о том, что ты закрыла счет.

могут, читай трудовой закон

закрывать не надо,ты этим счётом можешь пользоваться через интернет-банк

печать не нужна  

чек выписывают на имя или без имени( мне и так выписывали ) с печатью(если с именем может и без печати) и подписью на любую персону, надо идти с паспортом и всё

имеет.
нужно платить алименты своевременно.

для начала у тебя должен быть с банком заключен договор на использование интернет-банка,только так ты можешь активизировать эту услугу

Например, в случае подозрения в совершении любого тяжкого преступного деяния имеют право произвести оперативные действия, в числе которых есть и просмотр счетов.
Т.е. если экономическая полиция заподозрит - выбьет санкцию только так, а учитывая поправки в 8 статью закона об оперативной деятельности - в течение 3ёх дней можно лишь по подозрению производить все необходимые оперативные действия, даже без акцепта следственного судьи.

распростаранения пиратской фигни

я точно знаю, что бесплатно в Swedbank-e  (о других банках не скажу) можно сделать доверенность на физ. лицо (я делала на маму), отметив при этом определенные функции, к которым вы даете доступ доверенному лицу. в таком случае доверенный не только сможет пользоваться онлайн банком, но также в случае возникших трудностей (утеря кодового калькулятора, блокировка каких-либо функций) обратиться в банк, тот должен обеспечить ему помощь.