Когда машине заканчивается техосмотр?

Смотря, на сколько едешь туда. А лучше пройти техосмотр и потом уже ехать!!!

Да, но главное вернуться назад еще с действующим тех осмотром.

Ну тут не видно, есть ли у неё прогнившая дыра в полднища или нет. Да и как-то со световыми приборами нет полной ясности.  
Думаю, пройти на ней техосмотр особо дорого не станет, но имеет ли это смысл, если и сам тазик стоит не особо дорого. Легче уж с техосмотром взять.

Ничего не будет, 80 латиков заплатишь и несколько пунктов получишь и всё  

Можешь смело ехать на чужой машине. На бумаге пишут Uzraditajs т.е. твою фамилию. Чья машина не важно.

это зависит от возраста машины и полной массы.Для автомобилей, которые зарегистрированы до 2005 года, налог составит 25 латов при массе до 1500 кг, 53 лата при массе от 1501 до 1800 кг, 90 латов при массе от 1801 до 2100 кг, 114 латов при массе от 2101 до 2600 кг, 138 латов при массе от 2601 до 3000 кг, 159 латов при массе от 3001 до 3500 кг и 180 латов при массе свыше 350 кг.
http://csdd.lv/lat/par_csdd/nodevu__nodoklu_un_naudas_sodu_nomaksa/transportlidzeklu_ikgadeja_nodeva/?doc=649

Не знаю, по идее если машина с учёта снята небыла, то налог платить нужно.

Нужно буксировать машину с просроченным тех.осмотром.

Сразу.