Обязаны ли заменить компьютер по гарантии, если не могут определить и исправить ошибку (подробности внутри)?

1. Исправить можно только фиксируемый дефект. Поэтому довод "у нас не перезагружается" вполне законный, чтобы ничего не делать.
2. Потребовать проверки на месте имеет полное право. Должны предоставить такую возможность, оговорив суть проверки. Например, я работаю с такой-то игрой столько-то времени. Возникшую перезагрузку демонстрирую. Если ничего не произойдет, придется забирать, как исправный.
3. Если дома это происходит регулярно, то можно попытаться договориться, что они приедут домой и увидят ситуацию. Соглашаться они не обязаны, но могут (за отдельную плату, если ничего не увидят, или вина окажется внутри квартиры).

http://www.ptac.gov.lv/page/234

по идее, если было перепробовано все, чтобы решить проблему, но решения нет, то, конечно, должны заменить. только перепробовать должны в сервисном центре, а не дома друг. вообще, почитай законы, вроде должны поменять если обращались за 6 месяцев 2+ раз

А дома к другим розеткам, или через UPS подключать пробовали? Или проверять без подключенных кабелей интернета и всех прочих?

Пусть отнесет в гарантийку на диагностику. После чего ему нужно попросить акт заключения гарантийного сервиса обслуживания о том, что комп неисправен. Потом несешь сей акт в магазин, где покупал. А затем тебе возврощают деньги за товар.
У меня похожая ситуация была, только с телефоном.

Включи запись дампа ядра windows, пусть он перезагрузится раз 10, запишутся дампы с кодом ошибки и им полюбому придётся делать диагностику, либо заменять его если они не в состоянии определить в чём конктретно заключается проблема.

Похоже у вашего компа видео карта (видюха) неисправна или вам в парили комп с такой видюхой. По требуйте что-бы сделали диагностику в сервисе и заменили видео карту(смотрите что-бы опять фуфло не в парили).